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¬ Die Millionen-Dollar-Vermutung

Eine Million Dollar ist auf die Lösung der hundertjährigen Poincaré-Vermutung ausgeschrieben. Nun ist sie offenbar geknackt worden -- von einem russischen Einzelgänger.

Ein bisschen sieht er aus wie eine Mischung aus Guildo Horn und Rasputin, mit seinen verstrubbelten Haaren, die stellenweise schon ein bisschen schütter werden. Doch die meisten mathematischen Institute weltweit würden einiges dafür geben, wenn das Gehirn unter dem Haarschopf für sie arbeitete. Will es aber nicht: Grigorij Yakovlevich Perelman zieht es vor, in aller Ruhe in seiner Geburtsstadt St. Petersburg zu leben, nachdem er Mitte der 90er gute zwei Jahre in den USA verbracht hat. Während "Grisha", wie er unter Freunden und Kollegen heißt, jetzt am Steklov-Institut für Mathematik der Russischen Akademie der Wissenschaften Beweise ausheckt -- Gerüchten zufolge für 80 Dollar im Monat -- zerbrechen sich amerikanische Mathematiker am Clay Mathematics Institute (CMI) in Cambridge (Massachusetts) die Köpfe über diesen Beweisen. Denn das CMI hütet sieben je eine Million Dollar schwere Preise für besonders schwere mathematische Probleme -- darunter einen für den Beweis der Poincaré-Vermutung. Und just diesen Beweis scheint Grisha Perelman gefunden zu haben.

Er folgt als Spezialfall aus der so genannten Klassifizierung der 3-Mannigfaltigkeiten -- und die ist es eigentlich, die den Puls der Mathematiker höher treibt. "Auch, wenn man noch einen Fehler im Beweis der Poincaré-Vermutung finden sollte, sind Perelmans Arbeiten auf jeden Fall einer der größten Durchbrüche in der geometrischen Analysis in den letzten 50 Jahren", stellt zum Beispiel Klaus Ecker begeistert fest. Der Mathematiker an der Freien Universität Berlin arbeitet seit einigen Jahren an ähnlichen Problemen wie Perelman.

Der Ursprung des Problems liegt jedoch noch viel weiter in der Vergangenheit: "Mannigfaltigkeiten" sind eine Erfindung der Topologen des 19. Jahrhunderts -- also der Erforscher mathematischer Räume. Wer bei Mannigfaltigkeit an eine große Vielfalt denkt, liegt nicht falsch: Mannigfaltigkeiten sind abgeschlossene Räume, die von jedem Punkt aus in nächster Nähe "flach" aussehen. Und dafür gibt es jede Menge Möglichkeiten -- unendlich viele sogar. Die Oberfläche eines Wasserballs oder der Erdkugel sind zum Beispiel Mannigfaltigkeiten. Sie sind abgeschlossen und sehen in nächster Nähe bretteben aus. Dass die Erdkugel gekrümmt ist, fällt erst auf, wenn man in weite Ferne blickt. Weil obendrein zwei Koordinaten (Längen- und Breitengrad) ausreichen, um jede Position auf der Erdkugel festzulegen, nennen Mathematiker die Oberfläche einer dreidimensionalen Kugel eine "2-Mannigfaltigkeit".

Der französische Mathematiker Jules Henri Poincaré (1854-1912) war Ende des 19. Jahrhunderts bei der Beschäftigung mit Funktionen auf Mannigfaltigkeiten gestoßen, und er stellte sich eine nahe liegende Frage: Kann man diese Gebilde irgendwie sortieren? Auch, wenn man aus einem Wasserball die Luft heraus lässt, bleibt er eine Mannigfaltigkeit. Doch welche Eigenschaft haben ein schlaffer Wasserball und die prallen Erdkugel gemein? Aufgrund der Vorarbeiten seiner Kollegen August Ferdinand Möbius (1790-1868) und Camille Jordan (1838-1922) kannte Poincaré eine Antwort: So lange man die Gummihaut des Wasserballs nicht zerschneidet oder irgendwo zusammenklebt, besitzen weder die Erde noch der Wasserball eine Öffnung, durch die man zum Beispiel ein Seil schlingen könnte -- ganz anders als ein Schwimmreifen, den man bequem an einem Seil aufhängen kann. Mannigfaltigkeiten sind offenbar nach der Anzahl ihrer Öffnungen sortierbar.

Poincaré sah, dass sich alle 2-Mannigfaltigkeiten ohne Öffnung zu Kugeln verformen lassen: Ein Wasserball bleibt im Prinzip immer ein Wasserball, egal, wie verknautscht er ist. Nur, wenn man ein Loch hineinschneidet, kann man ihn nicht mehr zur Kugel aufpumpen. Viel später erfand jemand den Witz, nach dem Topologen Menschen sind, die Kaffeetassen nicht von Donuts unterscheiden können -- denn beides gehört zur gleichen topologischen Klasse, weil beides genau eine Öffnung besitzt: die Kaffeetasse im Henkel, der Donut in der Mitte.

Sind also alle Mannigfaltigkeiten irgendwie einer Kugel ähnlich, wenn sie keine Öffnungen besitzen? Was in zwei oder drei Dimensionen sonnenklar scheint, klappt bei den Mannigfaltigkeiten in vier Dimensionen nicht mehr. Poincaré lernte mit der Zeit, dass 3-Mannigfaltigkeiten nicht nur wie die unvorstellbare dreidimensionale Oberfläche eines vierdimensionalen Wasserballs aussehen können, sondern viel kurioser: Sie können sich unendlich ausdehnen, aber endlich im Volumen sein, vorstellbar zum Beispiel als Zimmer, bei dem Gegenstände durch die Wände gleiten können -- und dann aus der gegenüberliegenden Wand wieder ins Zimmer treten. Aus dem Alltag kennt man sowas nicht, und genau das machte die Sache richtig kompliziert.

Das Zählen der Öffnungen reichte also nicht, doch Poincaré hatte eine neue Idee. Zur Veranschaulichung denkt man sich dazu heute gerne Schlingen aus mathematischen Fäden, unendlich dünn, unendlich gut dehnbar und unendlich gleitfähig. Diese imaginären Gummifäden legt man auf der Mannigfaltigkeit aus -- ganz egal wie. Dann zieht man die Schlinge vorsichtig auf der Mannigfaltigkeit zusammen. Wenn man grundsätzlich nirgendwo hängenbleiben kann, egal, wie die Schlinge vorher lag, dann nennen Topologen diese Mannigfaltigkeit "nullhomotop". In der dreidimensionalen Welt ist klar: Ist eine (zweidimensionale) Oberfläche nullhomotop, dann hat sie keine Öffnungen, in denen der Faden hängen bleiben könnte. Eine Kaffeetasse zum Beispiel ist nicht nullhomotop, denn die Schlaufe kann im Henkel hängen bleiben -- anders als beim nullhomotopen Wasserball. Bei 3-Mannigfaltigen fallen beide Eigenschaften dagegen nicht mehr zusammen: Es gibt 3-Mannigfaltigkeiten ohne Öffnungen, die aber nicht nullhomotop sind.

Poincaré formulierte daher eine Vermutung: Er glaube, dass alle nullhomotopen 3-Mannigfaltigkeiten ohne Schneiden und Kleben zu Kugeloberflächen umgeformt werden können. "Das ist eine Frage, die uns schon zu lange beschäftigt hat", schrieb er, nicht ahnend, wie lange sie die Mathematik noch in Atem halten würde: Heute führt die Amerikanische Mathematische Gesellschaft (AMS) in ihrer Klassifikation der Mathematik unter der Bezeichnung 57M40 eine eigene Abteilung nur für Arbeiten zur "Charakterisierung von E3 und S3 (Poincarévermutung)". Hunderte Arbeiten wurden dazu geschrieben -- und in den dutzenden Beweisen der Poincaré-Vermutung steckte irgendwo immer der Wurm.

Denn das Problem war knifflig: Es fehlte ein grundlegender Überblick über die 3-Mannigfaltigkeiten -- kein Wunder, schließlich gibt es unendlich viele, und sie können unvorstellbar bizarr aussehen. Bis in die siebziger Jahre war die Struktur der 3-Mannigfaltigkeiten ein unlösbares Rätsel für die Mathematiker.

Doch dann hielt zwischen 1978 und 1980 der amerikanische Mathematiker William P. Thurston an der Princeton University eine Vorlesung mit dem Titel "The Geometry and Topology of Three-Manifolds". "Viel von dem Material oder den Methoden war neu, inbesondere für mich selbst", erinnert er sich im Rückblick an seine Vorlesung. "Daher wusste ich nicht immer, wo es hinging, und die Diskussionen gingen oft ziemlich eigene Wege. Die Landschaft ist aber hübsch und es macht Spaß, darin umherzustreifen, so lange man die Augen offen hält und sich nicht verirrt."

Thurston begann auf seinen Ausflügen durch die mathematische Landschaft zu ahnen, wie man 3-Mannigfaltigkeiten sortieren könnte: Mit einer Art Mannigfaltigkeiten-Lego aus acht verschiedenen Geometrie-Bausteinen. Aus diesen acht Geometrien -- so Thurstons unbewiesenes Modell -- ließen sich alle geschlossenen 3-Mannigfaltigkeiten zusammenbauen. Wie es der Zufall wollte, entsprach eine der Geometrien just der Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel. Ganz nebenbei hatte Thurston also beim Trampen durch die Topologie einen ganz neuen Weg zum Beweis der Poincaré-Vermutung entdeckt: Wer seine "Geometrisierungsvermutung" bewies, der bewies zugleich auch, dass nullhomotope 3-Mannigfaltigkeiten nur aus Kugeloberflächen bestehen konnten.

Doch das ging nicht so einfach: Die Mathematiker hatten kein Werkzeug an der Hand, mit dem sie die 3-Mannigfaltigkeiten schnell so vereinfachen und glätten konnten, dass sich die Teilstücke nach dem Auseinanderschneiden in die Thurston-Geometrie-Kategorien einsortieren ließen. Man brauchte vor der mathematischen Chirurgie also eine Art mathematisches Bügeleisen, das die Mannigfaltigkeiten von Knittern befreit.

Es dauerte Jahre, bis man dieses Bügeleisen in Händen hielt. Richard Hamilton, heute an der Columbia University in New York, hatte die entscheidende Idee. Der jugendlich wirkende Mathematiker entwickelte Anfang der achtziger Jahre den "Ricci-Fluss", benannt nach dem italienischen Mathematiker Gregorio Ricci-Curbastro (1853--1925). Anfang des 20. Jahrhunderts hatte Ricci den nach ihm benannten Tensor erfunden, den schon Einstein in seiner Allgemeinen Relativitätstheorie benutzte und der auch fast 100 Jahre später den Mannigfaltigkeitenforschern nützlich werden sollte: Eine Art Messinstrument für die Krümmung einer Mannigfaltigkeit. Wenn man dieses Instrument in einer Differentialgleichung eine Zeitlang auf Mannigfaltigkeiten ansetzt, dann glättet es die "Falten", und zwar umso stärker, je mehr die Mannigfaltigkeit an einer Stelle gekrümmt ist. Das Ricci-Bügeleisen homogenisiert also die Krümmungen. Ergebnis: Eine verknautschte kartoffelförmige Mannigfaltigkeit wird automatisch zur Kugel. Leider geht sie dabei auch ziemlich ein -- letztlich schrumpft sie zu einem Punkt, während sie immer kugelförmiger wird. Das störte die Mathematiker allerdings wenig: So etwas lässt sich beseitigen, indem man die Kugel durch eine Lupe betrachtet, deren Vergrößerung ebenso schnell wächst, wie die Kugel schrumpft. Andere Probleme waren ernster: Bei komplizierteren Mannigfaltigkeiten konnte es nämlich passieren, dass sich einige Stellen während der Berechnung einschnüren, während im Rest die Krümmungen noch dabei sind, immer homogener zu werden -- etwa, wenn man eine hantelförmige Mannigfaltigkeit mit dem Ricci-Fluß bearbeitet. Am "Verbindungsstück" der "Gewichte" entsteht eine Singularität -- und die Mannigfaltigkeit ist nach dem Bügeln keine Mannigfaltigkeit mehr. Hamilton konnte zwar beweisen, dass, falls keine Singularitäten auftreten, die gebügelten Mannigfaltigkeiten genau denen aus der Geometrisierungsvermutung von Thurston entsprechen. Was aber, wenn das Bügeln nicht funktionierte?

Hamiltons mathematischer Instinkt wies den Weg zu Lösung: Man muss eine Art Skalpell zu Hilfe nehmen. Kurz, bevor eine Singularität entsteht, muss man sie herausschneiden und durch ein "Capping off" entschärfen. Doch ob sich dies bei den 3-Mannigfaltigkeiten auch praktisch umsetzen ließ, war nicht klar. So könnte zum Beispiel das Ricci-Bügeln und das "Capping off" die Krümmung plötzlich katastrophal verschlechtern.

Die Lösung entstand im Stillen, in St. Petersburg. "Immer wurden Kollegen, die in diesem Bereich arbeiteten, von Perelman um Preprints angeschrieben", erzählt Ecker. Am 11. November 2002 wussten sie, warum: Grisha Perelman verschickte ein paar E-Mails an Mathematiker in aller Welt. Einige hatten ihn bereits zwischen Herbst 1992 und 1995 in den USA kennengelernt, an der State University und dem Courant Institute in New York und an der University of California in Berkeley. Perelman hatte mit dem, was er dort verdiente, wohl das Geld für sein ehrgeiziges Projekt zusammengespart -- den Abschluss des Programmes von Richard Hamilton. "Auf www.arxiv.org können Sie eine Arbeit finden, die sie vielleicht interessiert", schrieb er in der E-Mail. Über diese Webseite konnte man tatsächlich eine Arbeit Perelmans mit dem Titel "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications" herunterladen -- 39 Seiten, auf denen er beschrieb, wie ein Beweis der Geometrisierungsvermutung aussehen könnte. Und er bewies die wichtigsten offenen Fragen: "In diesem Artikel führen wir einige Details des Programms von Hamilton aus", schrieb er. "Die technisch komplizierteren, die sich auf die Chirurgie beziehen, werden an anderer Stelle diskutiert." Poincaré erwähnt er dabei mit keinem Wort, obwohl sein Programm der Weg zum Beweis der Vermutung war.

"Perelman ist eben ganz bescheiden", meint der Topologe Klaus Ecker, den die E-Mail und die Arbeit damals elektrisierten. "Ende Januar 2003 haben wir ihn zu einem Meeting eingeladen", erzählt er. Der Russe folgte der Einladung nach Berlin und sprach über ein einzelnes Thema aus seiner ersten Arbeit. "Danach haben wir ihn zwei Tage lang mit Fragen gelöchert", erinnert sich Ecker, "und er konnte sie alle beantworten".

Unter den Gastgebern befand sich auch Eckers Kollege Gerhard Huisken vom Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik in Golm, denn die Geometrien der 3-Mannigfaltigkeiten interessieren auch Kosmologen: Sie haben für die Beschreibung der Geometrie des Weltraums neun so genannten "Bianchi-Klassen" gefunden, die erstaunlicher Weise genau den acht Thurston-Klassen entsprechen. Wenn gezeigt wird, dass Thurston mit seiner Vermutung Recht hat, dann ist klar, dass auch der Geometrie-Baukasten der Kosmologen zum Zusammenzimmern eines homogenen Kosmos vollständig ist.

Im März 2003 veröffentlichte Perelman weitere 22 Seiten, die die offenen Fragen aus der ersten Arbeit klärten -- und, wie es aussieht, die Thurston-Vermutung endgültig bewiesen. Im Juli 2003 schloß Perelman die Trilogie dann mit einem kurzen Paper ab, in dem er bewies, dass bei nullhomologen Mannigfaltigkeiten das Bügeln mit dem Ricci-Fluß tatsächlich in endlicher Zeit abgeschlossen werden kann -- letztlich der Beweis für die Poincaré-Vermutung.

Seitdem grübeln weltweit Mathematiker über Perelmans Beweisen. Arbeit eins und drei gelten schon jetzt als fehlerlos. "Die zweite Arbeit hat aber, glaube ich, noch keiner von uns von Anfang bis Ende verstanden," so Ecker. Nicht umsonst sehen die Bestimmungen des Clay Mathematics Institute vor, dass jeder vollständige Beweis einer Preisaufgabe mindestens zwei Jahre nach Veröffentlichung der Prüfung durch die Kollegen standhalten muss, bevor sie einen Preis ernten kann. Bis zur Verleihung hält das Institut geheim, wen es für preiswürdig hält -- doch dass Perelman (vielleicht zusammen mit Hamilton) die ersten Millenniumspreisträger werden könnten, gilt als ausgemacht.

Im Falle des Falles stellt sich nur noch die Frage, ob Grisha Perelman den Preis annehmen wird: Er ist die Ruhe selbst. 1996 hat er einen Forschungspreis der Europäischen Mathematischen Gesellschaft, dotiert mit 6000 Euro, abgelehnt -- und das, obwohl er seine Arbeit teilweise durch persönliche Ersparnisse finanziert, wie er in einer Fußnote zur ersten Arbeit verrät. Kollegen bekommen auf ihre E-Mails derzeit nur knappe Antworten, Journalisten praktisch gar keine. Und klickt man sich auf Perelmans persönliche Instituts-Webseite durch, dann findet man nur eine leere Seite mit dem Hinweis "The requested URL was not found on this server". Wer weiß, über welchem Problem Grisha Perelman jetzt gerade brütet.


Kasten: Die acht Geometrien der 3-Mannigfaltigkeiten

Ende der 70er Jahre schlug William Thurston eine Klassifizierung der 3-Mannigfaltigkeiten vor. Dazu gehören der euklidische Raum (also der gewohnte dreidimensionale Raum ohne Krümmung), der hyperbolische Raum, deren Krümmung überall negativ ist, sowie die Einheitskugel, die überall positiv gekrümmt ist. Kniffliger sind schon Mannigfaltigkeiten wie eine Kreuzung aus einer zweidimensionalen Kugeloberfläche mit einem simplen Kreis (Bild) oder eine Kreuzung aus der hyperbolischen Ebene und einem Kreis. Die verbleibenden drei Metriken sind komplex verbogene Räume. Einer dieser Räume wird zum Beispiel durch eine bestimmte Art, Abstände zwischen bestimmten Matrizen zu definieren, festgelegt. All diese Geometrien haben eines gemeinsam: Sie beschreiben "homogene" Räume, das heißt: Räume, die von jedem Punkt aus gleich aussehen.

Kasten: "Capping Off"

Das Rezept ist ein einfacher Algorithmus: Wenn an irgendeiner Stelle die Mannigfaltigkeit zu einem Punkt zusammenzufallen droht und eine Singularität entsteht, dann setzt man zunächst das Ricci-Bügeleisen ab. Anschließend schneidet man die kritische Stelle heraus und setzt auf die Löcher kleine Scheiben (wenn es sich um eine 2-Mannigfaltigkeit handelt) oder Kugeln (bei 3-Mannigfaltigkeiten). Danach kann man weiter bügeln, bis die nächste Singularität aufzutreten droht oder die Mannigfaltigkeit homogen gekrümmt ist. Perelman gelang es vermutlich, zu zeigen, dieser Prozess tatsächlich funktioniert.


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